La paradoja de Condorcet

Si siguen leyendo, pueden acabar así.

Perdonen, pero les ha tocado la rifa del rollo. Venga ahora la mención a la paradoja de Condorcet.

Esta paradoja surge de una pregunta: ¿Cómo identificar lo que quiere o prefiere la mayoría del número de ciudadanos de una nación? Ante un desafío, caben varias preguntas... y varias respuestas. Cada uno de los ciudadanos tendrá un orden de preferencia de las respuestas a cada una de estas preguntas. Aquí comienza el lío.

Lo primero que se le pasa a uno por la cabeza es preguntar a los ciudadanos. Pero ante tantas respuestas posibles, mejor escoger entre dos respuestas: sí o no, A o B.

Condorcet, un héroe de la Revolución Francesa y de la Ilustración.

Nicolás de Condorcet (1743-1794), que era marqués y se llamaba, en verdad, Marie-Jean-Antoine Nicolas de Caritat, que ya es llamarse, estudió el caso. Condorcet cuestiona esta estrategia porque: a) Quien pregunta tiene ventaja, porque al suprimir alternativas puede orientar el resultado hacia sus propios intereses. b) Dada cualquier pareja de respuestas, podría darse el caso de existir otra respuesta preferida por la mayoría de la población y esa preferencia es cíclica (cambia con la pareja escogida). 

Tendremos que explicarnos mejor.

Sí, explíquese mejor, pero, por favor, no grite.

Venga una cuestión y tres respuestas posibles, A, B y C. Sean varios grupos de votantes, según su orden de preferencia: (A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B) y (C, B, A). Si yo pertenezco al grupo de votantes (A, B, C), por ejemplo, quiere decir que prefiero A; si no puede ser A, pues, B; si tampoco B, C. 

Imaginemos que la suma de (A, B, C) y (A, C, B) es el grupo más numeroso votantes. Eso querrá decir que A será la opción mayoritaria... que no es lo mismo que la opción de la mayoría de la población. La opción A sería ganadora de Condorcet (sic) si A tuviera una mayoría absoluta o suficiente sobre (todas) las demás (juntas), la establecida al inicio de la consulta. 

Pero resulta que no hay ganador de Condorcet, aunque A sea mayoritaria. Entonces, se opta por votar (A o B), (A o C) o (B o C). 

Digamos que se vota (A o B), porque son las dos opciones más populares. En este caso, los votantes que prefieren C tendrán que conformarse con votar su segunda opción. Los (C, A, B) votarán A y los (C, B, A) votarán B. Quién sabe, podría ganar la opción B, que no es la que más gusta. Ésta es la paradoja de Condorcet. Una parte, al menos.

La otra parte es que si se opta por otro par de respuestas, ya sea (A o C) o (B o C), podría ganar A, B o C, según el total de partidarios de una respuesta como preferida o como segunda preferida. Ésta es la parte que queda de la paradoja de Condorcet, que quien pregunta (quien escoge las respuestas por las que se puede optar) parte con ventaja.

En pocas palabras, si no existe un ganador de Condorcet, un referéndum no puede reflejar el parecer preferido por la mayoría de la población. Desde el punto de vista de las matemáticas, el problema no tiene una única solución y se puede cuestionar el beneficio (acuerdo) de optar por un par de respuestas donde existen más de dos, porque si fuera otro par el acuerdo sería diferente.

Los carceleros descubren a Condorcet, recién muerto.

Según unos, se suicidó con veneno, por no darle el gusto a Robespierre.

Según otros, le reventó un aneurisma en el cerebro y se quedó.

Traducción: Es mejor un sistema representativo que uno asambleario. La existencia de varias opciones sin que sea posible, de entrada, descartar ninguna de ellas por culpa de la paradoja de Condorcet obliga a negociar y aproximar una solución para obtener el máximo acuerdo (beneficio) posible. Tendrá que aplicarse el tedioso y lento sistema de ir probando para aproximarnos a la mejor solución posible para todos y cada uno. Por eso se queja uno tanto del gobierno en las democracias occidentales, porque (casi) todos tenemos que ceder en alguna de nuestras preferencias.

¿Un ejemplo de verdad? ¿Qué tal el de la independencia de Cataluña? Pongamos por caso que pueda darse. No les haré el trabajo, dejaré que calculen ustedes. ¿Cuáles son las preferencias u opciones posibles?

Simplificando, éstas: La independencia de Cataluña (A); un cambio de la ordenación territorial española, llamémosla federal, confederal o chachi, pónganse todas en un mismo paquete (B); los que se guían por el lema Virgencita, Virgencita, que me quede como estoy (C); los que prefieren reducir las competencias de las CC.AA. (D); el numeroso grupo de opciones irrelevantes, que se considerarán todas juntas como una sola opción (E). 

Ahora, fíjense en las complicaciones del caso. Aunque D y E sean opciones minoritarias, pueden sumar un 10% del censo y decidir una elección entre una pareja de respuestas. 

A juzgar por el CEO, la situación en Cataluña es la de una paradoja de Condorcet.

Más complicado todavía: Las preferencias de los votantes pueden cambiar según las circunstancias. Por ejemplo, un independentista acérrimo será A, B, E, C, D, siempre, pase lo que pase. Uno timorato puede convertirse en B, A, C, D, E si resulta que si nos vamos de España, abandonamos la Unión Europea, por decir alguna cosa. Un socialista federalista chachi de la rama pija del PSC será B, C, D, E, A, pero un gobierno del PSOE podrá convertirlo en un C, B, D, E, A y un gobierno del PP en un A, B, C, D, E, para no ser menos que el vecino. Etcétera.

Una de las encuestas que publicó El Periódico. 

Que venga Condorcet y lo vea.

Por eso se dice en tal sitio que un 56% está a favor de la independencia, porque, circunstancias aparte, se vota (A o C). Este mismo par de respuestas varía con una oración subordinada. Si no nos quedamos como estamos, ¿estaría a favor de la independencia si...? Si se sale de la Unión Europea, baja a poco más del 40%; si se permanece como miembro de la Unión Europea, sube hasta poco más del 60%. Pero ¿qué ocurre si se vota (A o B)? Gana B, ahora mismo. Según las circunstancias, la ventaja de B crece más o menos, pero siempre gana B. ¿(A o D)? Gana A. Etcétera. 

Además, las preguntas del CEO, del CIS y de los periódicos no son las mismas y la elección de pares es diversa en muestras con márgenes de error del 5%. En resumen, puedo publicar tanto que los catalanes quieren abandonar la Unión Europea ahora mismo como quedarse en España tal y como están ahora, y no me equivocaré en la respuesta (porque habré escogido la pregunta conveniente).

Sí, sí, ya veo que despierto un gran interés entre mis lectores.

En pocas palabras, en Cataluña no existe un ganador de Condorcet y nos vemos obligados a negociar, mal que nos pese. Una consulta sería injusta, porque plantear un par de respuestas (incluso tres) sería provocar la paradoja de Condorcet y dar por buena una respuesta mayoritaria que no satisface a la mayoría (de ahí la paradoja). Ah, peor todavía: el problema no tiene (una única) solución que no sea acordada después de haber cedido todos una parte de sus preferencias.

De la paradoja de Condorcet al teorema de Arrow, pero eso ya va para nota y les dejo buscar en la güiquipedia, si les apetece. Son reflexiones conocidas y reconocidas por los sociólogos, politólogos, economistas y matemáticos que ponen en cuestión muchas de las barbaridades que se cuentan por ahí estos días. Que son muchas, muchas.